Integral von \( \cos^3 x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \cos^3 x \, dx \]

Schreiben Sie das Integral um, indem Sie einen einzelnen Cosinus-Faktor abspalten:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), um den Integranden umzuformen:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden und teilen Sie das Integral in zwei Teile auf:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution für den zweiten Term: Sei \( u = \sin x \), was \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) bzw. \( du = \cos x \, dx \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]

Verwenden Sie Standard-Integralformeln, um jedes Integral zu berechnen:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Setzen Sie \( u = \sin x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten: