Berechne das Integral
\[ \int \cos^3 x \; dx \]
Schreibe das Integral als
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos^2 x \cos x \; dx \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \; \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), um zu schreiben
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \; dx \]
Erweitere den Integranden und schreibe das Integral um als
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos x \; dx - \int \sin^2 x \cos x \; dx \]
Verwende die Integration durch Substitution: Setze \( u = \sin x \) und daher \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) oder \( du = \cos x \; dx \). Das Integral ergibt sich zu
\[ \int \cos^3 x \; dx = \int \cos x \; dx - \int u^2 \; du \]
Verwende Integralformeln, um das oben Genannte auszuwerten und zu schreiben
\[ \int \cos^3 x \; dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]
Setze \( u = \sin x \) wieder ein, um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed { \int \cos^3 x \; dx = \sin x - \dfrac{1}{3} \sin^3 x + c } \]